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[QA] - 向量

May 04, 2018

Q: 如果把向量拆分开,向是指“方向”,量是指“长度”吗?

是的。向量可以解释为“具有方向的标量”,而标量可以具有长度之分,所以向量,指具有“大小”或者“长度”的量。

Q: 向量如何表示?

向量有多种表示方法:

因为向量具有方向,假设从起点A到终点B的向量,可以表示为AB\overrightarrow{AB}

常常为了书写方便,向量也可以用一个字母来代替(一般是小写字母),u=AB\vec{u} = \overrightarrow{AB}

如果我们始终遵循向量的起点在原点,那么我们也可以用终点的坐标来表示向量,假设B的横坐标是x,纵坐标是y,那么,u=(x,y)\vec{u} = (x,y)

如果引入矩阵的概念,那么,u=[xy]\vec{u} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

如果引入基的概念,那么,u=(x,y)=xi^+yj^\vec{u} = (x,y) = x\hat{i} + y\hat{j}

Q: 向量看起来就像是笛卡尔坐标系中的点,是这样吗?

仅仅是看起来像!千万不要这么理解!

仅仅是因为我们可以把向量的起点正好放在原点(0,0)(0,0)

仅仅是因为如果每个向量都画出直线的话,会显的很乱

所以我们就用向量的每个终点来标示

所以脑海里绝不能认为向量就是坐标系中的点!

Q: 两个向量在什么情况下可以相等?

方向一致并且长度相等。

Q: 既然向量有“长度”,那么该如何表示?

向量的“长度”,也被称为向量的“模”,AB\overrightarrow{AB}的模记作:AB\lVert\overrightarrow{AB}\rVert

向量的长度可以通过毕达哥拉斯定理算出来,也就是我们熟知的勾股定理:

假设,u=(x,y)\vec{u} = (x,y),那么u=x2+y22\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt[2]{x^2 + y^2}

Q: 同理,向量的“方向”该如何表示?

向量的方向可以用其与坐标抽之间的夹角来表示,而我们可以通过余弦定理来计算角度:

其中,a1b1+a2b2a_1b_1 + a_2b_2 可以用向量来代替,被称为向量的点积:

ab=a1b1+a2b2\vec{a}{\cdot}\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2

所以:

cosθ=abab{cos{\theta}} = {\dfrac{\vec{a}{\cdot}\vec{b}}{\lVert\vec{a}\rVert{\cdot}\lVert\vec{b}\rVert}}

Q: 有零向量吗?

有。起点和终点为同一个点的向量为零向量,记做AA\overrightarrow{AA},或者,0\vec{0}

因为起点和终点在一起,可以想象,零向量的长度为0。

Q: n纬向量指的是什么?

首先要清楚n维向量是一个向量,而不是多个向量,只不过这个向量的维度为n。

n个有序的数a1,a2,...,ana_1,a_2,...,a_n所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数aia_i称为第i个分量。

n维向量可写成一行,也可写成一列。分别称为行向量和列向量。

Q: 有0维向量吗?

有。就是0\vec{0}

Q: 向量中的维度和我们平时说的维度一样吗?

完全不一样。

平时说的维度,称为物理上的维度,点,线,面,体积,时间,空间等等。

数学上的维度更抽象,n个不同的分量即可组成n维,例如我们熟知的RGB组成的颜色,这个便是三维的。

Q: 向量的运算法则是怎样的,可以加减乘除吗?

严格意义上说,向量只有加减,没有乘除。虽然向量有近似乘法的点乘以及叉乘。

加法满足交换律:

x+y=y+x\vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x}

结合律:

x+y+z=x+(y+z)\vec{x} + \vec{y} + \vec{z} = \vec{x} + (\vec{y} + \vec{z})

至于为何没有除法,可以参考:

为何向量没有除法运算? - 安堇然的回答 - 知乎

Q: 向量可以比较大小吗?

不可以。因为方向是不能比较大小的。

Q: 什么是向量空间?

向量空间又称为线性空间。

Q: 如何通俗的解释线性相关和线性无关?

Q: 向量的基是指什么?

Q: 向量的点积是什么?

向量的点积又称为“内积”,或者“数量积”,因为它的结果是一个标量。

在向量空间Rn\Bbb{R}^n,向量x=(x1,...,xn)\vec{x} = (x_1,...,x_n)和向量y=(y1,...,yn)\vec{y} = (y_1,...,y_n)的点积定义为:

xy=x1y1+...+xnyn=i=1nxiyi\vec{x}\cdot\vec{y} = x_1y_1+...+x_ny_n = \displaystyle\sum_{i=1}^nx_iy_i

Q: 向量点积的几何意义是什么?

根据之前推导向量夹角的公式,我们有:

xy=xycosθ\vec{x}\cdot\vec{y} = \lVert\vec{x}\rVert{\cdot}\lVert\vec{y}\rVert{\cdot}cos{\theta}

就是向量x的长度乘以向量x在向量y上的投影。

显而易见,点积具有交换律:

xy=yx\vec{x}\cdot\vec{y} = \vec{y}\cdot\vec{x}

如果把点积看成矩形的面积,一条边放大k倍,面积增大k倍,故具有数乘结合律:

(kx)y=k(xy)(k\vec{x})\cdot\vec{y} = k(\vec{x}\cdot\vec{y})

点积具有分配律:

(x+y)z=xz+yz(\vec{x} + \vec{y})\cdot\vec{z} = \vec{x}\cdot\vec{z} + \vec{y}\cdot\vec{z}

Q: 向量正交表示什么?

若两向量的点积为0,则这两个向量正交。二维几何图形上,两个向量的夹角为90度。

Q: 向量的叉积是什么?

与内积相对应,向量的叉积又称为“外积”,或者“向量积”,它的结果是一个向量。

两个向量a和b的叉积写作a×ba×b(有时也被写成aba∧b,避免和字母x混淆)。

Q: 向量叉积的几何意义是什么?

Q: 只有三维向量有向量积吗?


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